Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci

7. dubna 2008 v 18:04 | Platónské pojetí geometrie, P.Vopěnka |  Kiklopova knihovna
Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci
Petr Vopěnka

Platónské pojetí geometrie

Úvod

Hned úvodem je dobré říci, že geometrický svět nepovažujeme za něco prchavého, ale naopak za něco pravdivého a tedy i nezpochybnitelného. O tom také svědčí skutečnost, že se ho snažíme všemi možnými výklady vysvětlovat, čímž vznikají různé pojetí geometrie. Ty se od sebe liší odlišnými názory na vzájemné propojení světa geometrického s tím reálným, skrze který na geometrii pohlížíme. Geometrický svět může být vůči tomu reálnému totiž podložen, přiložen na něj atd. ….
Asi nejznámějším antickým matematikem zabývající se geometrií je nesporně Eukleidés. Ovšem jeho pojetí geometrie bylo inspirováno nejen Aristotelem, ale hlavně také Platónem, jehož vliv můžeme spatřit v matematice až dodnes. A protože se právě na Platóna v tomto ohledu jaksi opomnělo a jeho učení je základním kamenem nejen pro Euklieda, je vhodné začít právě u něj. Přičemž se zaměříme jednak na jeho filosofii, ale také na ony stopy, které na Eukliedovi zanechal.

Ideje

Geometrický svět se skládá s rozmanitých geometrických tvarů - geometrických objektů: například úsečka, čtverec atd. .. To, že daný objekt, jež je úsečkou můžeme jako úsečku vidět, nám umožňuje jeho idea úsečky, která je v něm přítomna. Kdyby tam nebyla, nemohli bychom ji ani vidět, tak ani rozpoznat, že se o úsečku vůbec jedná. Stejné je to i u světa reálného, kde jsou rovněž v různých objektech přítomny ideje: například tvrdost a barva. Jenomže ne každý jev je hned ideou. Idea musí být totiž prvoevidovatelná - to znamená, že ji musíme být schopni evidovat hned bez jakýchkoliv předchozích znalostí a evidencí. Tento problém dobře osvětlí nepřímost, která ideou není. Proč? Protože nejdříve musíme spatřit něco přímého (idea), abychom od toho mohli později rozeznat, co je nepřímé. Nepřímost tedy znamená nepřítomnost ideje přímosti a není prvoevidovatelná. Ovšem to, že v něčem není přítomna idea přímosti, ještě neznamená, že by se muselo jednat o nepřímý objekt. Může být totiž například křivý.

Svět idejí

Ideje mají povahu toho nejurčitějšího, nejstálejšího a hlavně nadčasového ze všeho, co můžeme ve světě pozorovat. Tím, že je idea naprosto stálá a tedy i neměnná, nemůže nikdy ztratit své bytí. Maximálně na ni můžeme zapomenout nebo ji prostě přejmenovat. O její stálosti a nadčasovosti také svědčí ta zkušenost, že k tomu, abychom někoho naučili poznávat kružnice, mu stačí ukázat pouze jeden kruhový objekt. Ostatní už pozná sám. Předvést mu samotnou ideu kružnice, totiž není možné, a proto mu ukazujeme jen onen předmět, kde je idea kružnice přítomna. Tím ho pouze vedeme k tomu, aby si danou ideu jen připomenul. Na ideje se tedy rozpomínáme. A protože při tomto rozpomínání si nejsme schopni vybavit žádné okolnosti, které by případně ideje provázeli, je jasné, že ve světě idejí žádné okolnosti neexistují. Navíc ideje mají takovou vlastnost, že jsme si je schopni vybavit, aniž bychom před sebou viděli její obrazy. Ideje tedy můžeme považovat za jakési samostatné osobnosti některých jevů.
Tím, že evidujeme ideje jak ve světě geometrickém i reálném, je jasné, že svět idejí oběma musí být nadřazen. A protože jsou geometrické objekty více určité a dokonalé než ty reálné, je geometrický svět umístěn mezi reálným světem a světem idejí.
Dalším zajímavým faktem je ta skutečnost, že jakmile začneme evidovat ideu kružnice, zároveň si uvědomujeme, že je kružnice křivá. Tudíž idea křivosti je v ideji kružnici přítomna, protože kdyby kružnice nebyla křivá, nebyla by to kružnice. To znamená, že v určitém objektu může být nespočet idejí, jež se vzájemně na sobě můžou, ale i nemusí účastnit. Přičemž pokud má-li idea účast na druhé, pak ji má stále a tato účast je rovněž neměnná a věčná. Ideje mají mezi sebou tedy určitý vztah, kterým jsou mezi sebou uspořádány. První idea totiž tu druhou blíže určuje (idea křivosti je blíže určena ideou kružnice či elipsy) a vyšší je z nich ta, která je v té druhé ideji přítomna. Tou nejvyšší ideou je pak idea dobra, jež patří do "nadnebeských" idejí, které nedokážeme definovat.

Geometrické a reálné objekty

Jak už jsem se zmínila, na samotné ideje pohlížet nemůžeme.Nahlížíme na ně pouze skrze objekty, v kterých jsou přítomny. A určitý objekt jsme zase schopni chápat jen díky jeho idejím. Proto také nejsme schopni přesně říci, co daný objekt je, protože vždy máme na mysli jen tu ideu, která se na daném objektu účastní. To co daný objekt tedy je, je zosobněním spolupřítomností těch idejí, které se na něm účastní. To platí jak pro reálné, tak i pro geometrické objekty, ovšem s tím rozdílem, že v geometrických objektech jsou ideje daleko průzračnější. Nejsou totiž "zatemněné" látkou, z které je objekt zhotoven. Látka je pro Platóna něco jako nečistota a její povaha je záporná. Ideální objekt je tedy pouze ten, jež je čistý, tudíž nezatížený žádnou látkou. Pokud látce v jiných pojetí světa nějakou svébytnost přiznáme - budeme ji nazývat hmotou. Co se týče geometrických objektů, tak ty jsou si rovny pokud mají stejná společenství týchž idejí. Takové geometrické tvary pak nazýváme shodnými. Ovšem ačkoliv těchto shodných geometrických objektů může být mnoho, idea daného jevu (přímosti, křivosti) je vždy pouze jedna.

Pravda

Sídlem pravdy je svět idejí. V tom reálném jsem pouze schopni evidovat jejich otisky, nikoliv však pravdu jako takovou. Poukazujeme-li na nějakou pravdu, poukazujeme pouze na účasti jedné ideje na druhé. K pravdě jako takové se však nikdy úplně dostat nemůžeme. Můžeme ji jen poodkrýt tím, že evidujeme její vzhled. Přičemž jsme schopni evidovat pouze tu část, jaká se nám z jednotlivé pravdy odkrývá
Tím, že o nějaké námi evidované pravdě hovoříme, pouze dáváme najevo, že jsme se jí dobrali a poukazujeme na ni. Naše výpověď je jen jakýmsi pokynem, jak a kam se máme na danou věc podívat. Pravda totiž není obsažena ve slovech, ale přece ve světě idejí. Dobrat se tedy můžeme i takovým jednotlivým pravdám, pro které nemáme názvy. Dále je dobré podotknout, že pokud nějakou pravdu evidujeme, zajímáme se o ní, a tedy věnujeme ji svou pozornost - znamená to, že se nás zmocnila. Nikoliv my jí.
V platónově pojetí pravdy, je tedy cesta přes geometrické objekty, které jsou ideální, tou nejvhodnější do světa idejí. A proto šel také Platón při svém filosofickém uvažovaní touto cestou. Platón je taky jedinečný tím, že nám své předpoklady nevnucuje, jen říká co můžeme vidět pokavaď se podle jeho instrukcí podíváme.

Věda

Platón považoval za pravé vědění pouze znalost trvalých poznatků, které se týkají čisté a neměnné pravdy. Například takových poznatků vycházejících z geometrického světa. Totiž poznatky vycházející ze světa reálného jsou pomíjivé, protože se tyto objekty neustále mění.
Platón tedy stanovil vědě její předmět studia - odkrývání pravd ve světě idejí. Ovšem při tomto odkrývání, které provádíme přes objekty z reálného světa, narážíme na mnoho překážek. Takovou klasickou překážkou u reálných objektů je jejich látka, z které jsou zhotoveny a která ideje zatemňuje. U geometrických objektů žádné takové překážky sice nejsou, za to ovšem v něm řadu idejí vůbec nenajdeme. Například ideu barvy. Prostřednictvím geometrického světa máme tedy přístup pouze ke zlomku světa idejí.
Geometrie je tedy podle Platóna taková věda, která studuje geometrické objekty proto, aby pomocí nichž odkryla pravdy týkající se geometrických idejí.

Tvar a velikost

Tvar a velikost jsou těmi nejvyššími rovnocennými geometrickými idejemi vůbec. K nejznámějším idejím, které se účastní na ideji velikosti je hlavně idea délky, plošného obsahu a objemu. Naopak na ideje tvaru se účastní ty ideje, jež označujeme názvem: rozměr či dimenze.

Veličiny a poměry

Veličiny do světa idejí nenáleží. Jejich místo je ve světě prostředním, tedy geometrickém. Je tomu proto, že narozdíl od ideji kružnice, ideu dané délky nedovedeme v sobě přechovávat po delší dobu aniž bychom se na daný geometrický objekt koukali. Proto je délka, zrovna tak jako obsah či objem určena daným objektem. Úplně opačně je tomu s některými poměry, které si uchovat dokážeme. Poměry tedy idejemi jsou. Dovedeme například kdykoliv určit, že čtverec má všechny strany stejné, jeho úhlopříčka je dvakrát delší než jeho strana atd. … Poměrami také můžou být ty, jež vyjadřujeme čísly: například:2ku3. Jednotlivé poměry také můžeme porovnávat, protože si jsou navzájem také v poměru. Navíc se z nich mohla vyvinout obecnější čísla, než jsou čísla přirozená, protože poměry - do nichž vstupují dvě úsečky - nejsou vázány na ideu délky.

Velikosti úhlů

Také idea úhlu, zrovna jako poměr, má účast na ideje velikosti. Avšak je zde velký rozdíl mezi - například velikostí úsečky a velikostí některých úhlů. Velikosti některých úhlů totiž jsou idejemi - pravý úhel. Ten si dokážeme představit, aniž bychom měli před sebou nějaký pravoúhelník. Na tento jev rovněž upozorňoval i Eukleidés.

Křivost

Nejznámější ideou, která má účast na ideji tvaru, je idea přímosti a křivosti. Přičemž křivost je vždy v geometrických objektech přítomna v nějaké velikosti. Jediným objektem, kde je křivost přítomna pouze v jedné velikosti je kružnice ( narozdíl od elipsy). Ze dvou kružnic je přitom více křivá ta, jež má menší poloměr. Chceme-li určit velikost nějaké křivky v určitém bodě, poslouží nám k tomu kružnice, jež může křivku v daném bodě zastoupit. Ačkoliv v prostorové geometrii je tento postup daleko složitější v planimetrii, která byla jádrem antické geometrie, se užívá až do teď.

Dokonalost a krása

Nejdokonalejší objekty jsou ty, které mají co nejméně neurčitostí. Čím je totiž objekt méně neurčitý, tím je více průzračnější a mohou z něj tak snáze vystupovat "nebeské ideje". Proto je také krásnější. Například čtverec je dokonalejší a krásnější než obdélník - čtverec skrývá pouze neurčitou jednu stranu, zato obdélník dvě. Z hlediska tvaru jsou nejdokonalejší ty objekty, kde je přítomna pouze jedna idea křivosti a přímosti. V planimetrii je to úsečka a kružnice a v prostorové geometrii je to koule či krychle. Ovšem nejdokonalejším geometrickým objektem je bod, který je nejblíže světu idejí, jelikož v něm není nic nedokonalého. Nejdokonalejším poměrem je zase poměr zlatého řezu.
Platónova filozofie byla tedy schopna obsáhnout a rozšířit pythagorejský ideál krásy.

Úhrnná idea geometrického objektu

Tím, že se podíváme na některý geometrický objekt, evidujeme jeho úhrnnou ideu. To znamená celek- vše určité co je v tomto objektu přítomno. Ovšem celek není jen jakýmsi souborem všech podrobností, z kterých se skládá. Jinak bychom totiž všechny tyto podrobnosti museli na první pohled vidět. A tomu tak není. Záleží totiž na našem výběru, které z těchto podrobností dopřejeme svou pozornost. Navíc některé podrobnosti jsou nám naprosto skryty a musíme je nejprve odkrýt. Úhrnná idea určitého geometrického objektu je tedy celkem všeho určitého co je v něm přítomno. Navíc evidujeme-li přítomnost nějaké ideje v geometrickém objektu, pak zároveň evidujeme přítomnost této ideje v jeho úhrnné ideji daného objektu. Proto nám geometrické objekty nejúčinněji slouží k odkrývání pravd. Některé ideje objektů jsme také pojmenovali: například čtverec. Naopak co se týče ideje tvaru, tak ta není úhrnnou ideou, protože můžeme říci ještě něco daleko specifičtějšího, co nám objekt určí. Tak vznikl například název ovál. Ještě jedna věc stojí za zmínku. I když jsme schopni na čtverci evidovat jeho konvexnost a, že jeho úhlopříčky svírají pravý úhel, neplatí to pro jakýkoliv rovinný objekt, jež má čtyři strany a při vrcholech pravý úhel. Čtverec musíme rozeznat okamžitě na první pohled. Jsou-li nějaké pochybnosti - nejsme-li schopni evidovat jeho pravé úhly či stejně dlouhé strany, pak úhrnnou ideou pozorovaného objektu nemůže být přeci čtverec.

Evidentní geometrické pravdy a odkrývání skryté pravdy

V geometrii odkrýváme určité pravdy prostřednictvím geometrických objektů. Je dobré si ale uvědomit, že to, co eviduje jeden ještě neznamená, že to bude evidovat druhý. Záleží jak na zraku, tak na přesným záznamu toho, co jsme evidovali. Každý přece může něco přehlédnout - tedy mýlit se. Proto máme možnost naše chyby při opětovné evidenci napravovat.
Je také nemožné vést seznam všech pravdivých evidencí. Už jen proto, že spoustu geometrických objektů nebylo ještě objeveno. V seznamu by měly být také pouze pokyny, co a jak máme evidovat. Pokud se těchto pokynů budeme držet, pak se nám daná pravda postaví přímo před oči. Ovšem to neplatí pro Pythagorovu větu. K tomu je zapotřebí daný objekt rozšířit na "obsáhlejší" objekt - rozložit ho. Pokud jsme ho vhodně rozložili, pak by se nám měla pravda vyjevit už jako evidentní. Pokud ne, musíme pokračovat dále podle pokynů týkající se tohoto rozloženého objektu.

Vynořování geometrických objektů

Pokud chceme nějaký geometrický útvar vynořovat, musíme si ho nejdříve stanovit jako cíl. (chceme vynořit čtverec). Někdy je postup jednoduchý, jindy dosti zdlouhavý a někdy není ani dosažitelný (rovinný objekt o třech stranách, jehož všechny úhly jsou pravé). Vždy záleží na našem daném cíli. Pokud se nám už jeden objekt vynořil, můžeme z něho ve vynořování zase pokračovat. Při vynořování se nám tedy střídá trpná složka s činnou.
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.
 

Aktuální články

Reklama